라그랑주 미정계수법

라그랑주 승수법

이변수 함수 $z=f(x,y)가 (x_0, y_0)$에서 극값을 가질때, 같은 말로 경계선 $g(x,y)=k$ 위의 점 $(x_0, y_0)$에서 극값을 적당한 실수 $\lambda$에 대해 $\nabla{f(x_0, y_0)} = \lambda\nabla{g(x_0,y_0)}$가 성립한다.(단 $\nabla{g(x,y)}\not=0$)

라플라스 미정계수법

$\nabla{f} // \nabla{g}$ 일 때 $\nabla{f(x, y)} = \lambda\nabla{g(x,y)}$에서 $\lambda$값에 따라 최댓값 혹은 최솟값을 가진다.

문제1

$g(x, y) = y^2+x^4-x^3 = 0$일 때 $f(x,y)=x$의 최댓값을 구해라

$$\begin{array}{l} \nabla{f(x,y)}=<1,0> \\ \nabla{g(x,y)}=<4x^3-3x^2, 2y> \\ <1, 0> = \lambda<4x^3-3x^2, 2y> (\nabla{f(x, y)} = \lambda\nabla{g(x,y)}) \\ \lambda(4x^3-3x^2)=1,\, 2\lambda y = 0, y^2+x^4-x^3=0 \\ \lambda=0인\,경우 \\ \lambda(4x^3-3x^2)=1가\,성립하지\,않음 \\ \\ y=0인\,경우 \\ y^2+x^4-x^3=0에서 x=0, 1\,후보를\,얻을수\,있다 \\ \lambda(4x^3-3x^2)=1을\,성립하는\,해는\,x=1 \\ \therefore\,x=1,y=0,\lambda=1이다 \\ f(1,0)=1일때가\,최댓값이다 \\ 이때\, 최솟값을\,(0, 0)일때인\,f(0,0)=0이다 \\ \nabla{g(0,0)}=0\,이므로\,최솟값인경우인\,(0, 0)에서\,접선을\,갖지\,않음 \end{array}$$

문제2

한양 대학교 2019 편입수학기출 2번

세 실수 a, b, c의 평균이 $\cfrac{13}{12}$일 때, $8a^4+27b^4+64c^4$의 최솟값은?

$$\begin{array}{l} 세실수\,평균이\,\cfrac{13}{12}이므로\,\cfrac{a+b+c}{3}=\cfrac{13}{12} \\ g(a,b,c)=a+b+c-\cfrac{13}{4}=0\,이라하자 \\ \nabla{f} // \nabla{g}일 때\, 최솟값을\,구할\, 수\, 있다\\ (4*8a^3, 4*27b^3, 4*64c^3) = \lambda(1, 1, 1) \\ \\ \begin{cases} 4*8a^3=\lambda \\ 4*27b^3=\lambda \\ 4*64c^3=\lambda \\ \end{cases} \\ 8a^3=27b^3=64c^3 \\ 2a=3b=4c \\ f(a,b,c)에\,대입하면 \\ a+\cfrac{2}{3}a+\cfrac{1}{2}a=\cfrac{13}{4} \\ a=\cfrac{3}{2}, b=1, c=\cfrac{3}{4}을\,대입 \\ 8a^4+27b^4+64c^4의\,최솟값은\, \cfrac{832}{3} \end{array}$$

참고자료

• https://m.blog.naver.com/mindo1103/90154212128